Решение дифференциальных уравнений второго порядка с условием

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и

- некоторые числа, а функция

задана на некотором интервале

.

Если

на интервале

, то уравнение (1) примет вид

, (2)

и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным .

Рассмотрим комплексную функцию

, (3)

где

и

- действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть

, и мнимая часть

решения

в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:

Если есть решение уравнения (2), то и функция

, гдеС – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то и функция

также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то их линейная комбинация

также будет решением уравнения (2), гдеи

– произвольные постоянные.

Функции

и

называютсялинейно зависимыми на интервале

, если существуют такие числаи

, не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство

Если равенство (4) имеет место только тогда, когда

и

, то функции

и

называютсялинейно независимыми на интервале

.

Пример 1 . Функции

и

линейно зависимы, так как

на всей числовой прямой. В этом примере

.

Пример 2 . Функции

и

линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство

возможно лишь в случае, когда и

, и

.

Построение общего решения линейного однородного

уравнения

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и. Линейная комбинация этих решений

, гдеи

– произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения.

Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде

, (5)

где – некоторое число. Тогда

,

. Подставим эти выражения в уравнение (2):

или

.

Так как

, то

. Таким образом, функция

будет решением уравнения (2), еслибудет удовлетворять уравнению

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть иесть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни ихарактеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции

и

. Эти решения линейно независимы, так как равенство

может выполняться лишь тогда, когда и

, и

. Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид

,

где и

- произвольные постоянные.

Пример 3

.

Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет

. Решив это квадратное уравнение, найдём его корни

и

. Функции

и

являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Комплексным числом называется выражение вида

, гдеи- действительные числа, а

называется мнимой единицей. Если

, то число

называется чисто мнимым. Если же

, то число

отождествляется с действительным числом.

Число называется действительной частью комплексного числа, а- мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными:

,

.

Пример 4 . Решить квадратное уравнение

.

Решение . Дискриминант уравнения

. Тогда. Аналогично,

. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.

,

, где

. Решения уравнения (2) можно записать в виде

,

или

,

. По формулам Эйлера

,

.

Тогда ,. Как известно, если комплексная функция является решением линейного однородного уравнения, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции

и

. Так как равенство

может выполняться только в том случае, если

и

, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

где и

- произвольные постоянные.

Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение . Уравнение

является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни

,

. Функции

и

являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид.

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е.

. Тогда решениями уравнения (2) являются функции

и

. Эти решения линейно независимы, так как выражениеможет быть тождественно равным нулю только тогда, когда

и

. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

.

Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение . Характеристическое уравнение

имеет равные корни

. В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции

и

. Общее решение имеет вид

.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и специальной правой частью

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения

соответствующего однородного уравнения и любого частного решения

неоднородного уравнения:

.

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части

уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если

не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степениm , т.е.

Коэффициенты

определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же

является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является

. Его характеристическое уравнение

имеет корни

и

. Общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Так как

не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции

. Найдём производные этой функции

,

и подставим их в данное уравнение:

или . Приравняем коэффициенты прии свободные члены:

Решив данную систему, получим

,

. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид

, а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

Если

не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде. Если же

есть корень характеристического уравнения кратностиk (k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид

. Его корни

,

. В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде

.

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

. Найдём производные первого и второго порядков:,

Подставим в дифференциальное уравнение:

+ +,

+,.

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:

Отсюда

,

. Тогда частное решение данного уравнения имеет вид

, а общее решение

.

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть

и

являются линейно независимыми решениями уравнения (2). Тогда общим решением этого уравнения является

, гдеи

- произвольные постоянные. Суть метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (1) ищется в виде

где

и

- новые неизвестные функции, которые необходимо найти. Так как неизвестных функций две, то для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Эти два уравнения составляют систему

которая является линейной алгебраической системой уравнений относительно

и

. Решая данную систему, найдём

и

. Интегрируя обе части полученных равенств, найдём

и

.

Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).

Пример 9 . Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Характеристическим уравнением для однородного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению, является

. Корни его комплексные

,

. Так как

и

, то

,

, а общее решение однородного уравнения имеет вид. Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде, где

и

- неизвестные функции.

Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид

Решив эту систему, найдём

,

. Тогда

,

. Подставим полученные выражения в формулу общего решения:

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.

Вопросы для самоконтроля знаний

Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое – неоднородным?

Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?

Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?

Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В чём суть метода Лагранжа?

Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать . Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать .

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной

В § 1, п. 1 мы рассмотрели задачу, которая привела к простейшему дифференциальному уравнению второго порядка (см. формулу 4, § 1, п. 1).

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка существует общее и частное решение. Рассмотрим сначала на примере, какой вид имеет общее решение уравнения второго порядка и как из него выделяется частное решение.

Возьмем простейшее уравнение второго порядка

Для его решения введем обозначение . Тогда и уравнение (35) примет вид . Отсюда следует, что или . Интегрируя еще раз, найдем .

Полученное решение зависит от двух произвольных постоянных (общее решение). Геометрически это решение представляет множество парабол (интегральных кривых), причем через каждую точку плоскости, очевидно, проходит бесконечное множество парабол, имеющих в этой точке различные касательные (рис. 275). Для выделения из множества этих кривых какой-либо одной интегральной кривой необходимо, кроме координат точки через которую проходят параболы, дополнительно задать угловой коэффициент касательной, т. е. значение в этой точке производной

Таким образом, условия, с помощью которых из общего решения уравнения второго порядка выделяется частное решение (начальные условия), имеют вид:

Первое из этих условий указывает точку, через которую должна проходить интегральная кривая. Второе условие определяет наклон интегральной кривой в данной точке.

Зададим, например, для уравнения (35) следующие начальные условия: .

Из общего решения находим . Используя начальные условия, получаем для определения систему уравнений

Из этой системы находим значения . Поэтому искомое частное решение имеет вид

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

§1. Методы понижения порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> (или Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: http://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Таким образом, уравнение 2-го порядка http://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: http://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.

Решение.

Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент http://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

Так как при http://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: http://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: http://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по http://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif" width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

где http://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Примем без доказательства, что (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height="25 src=">, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций http://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

то их линейная комбинация http://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Поскольку функции http://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при http://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – решение уравнения (2.3), то DIV_ADBLOCK101">

Следствие 2. Полагая http://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> также является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.

§3. Определитель Вронского.

Определение. Система функций http://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src=">..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src=">.gif" width="42" height="25 src="> уравнения (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Действительно, ..gif" width="18" height="25 src="> удовлетворяют уравнению (2..gif" width="42" height="25 src="> – решение уравнения (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> получается тождество. Таким образом,

http://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2..gif" width="42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.

§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если http://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> – линейно независимые решения уравнения (2..gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка..gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Постоянные http://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы http://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5..gif" width="77" height="25 src=">. Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер..gif" width="25" height="26 src=">, получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src="> и общее решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width="83" height="26 src=">. Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим

http://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, т. к..gif" width="137" height="26 src=">.

Частные решения http://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> линейно независимы, т. к..gif" width="166" height="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height="25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> есть решение уравнения (5.1)..gif" width="129" height="25 src="> будет иметь вид:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

представляется в виде суммы общего решения DIV_ADBLOCK103">

http://pandia.ru/text/78/516/images/image165_6.gif" width="11" height="29 src="> лнду (6.1).

Доказательство.

Докажем сначала, что http://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> в уравнение (6..gif" width="156" height="25 src=">.gif" width="87" height="25 src="> есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т. е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: http://pandia.ru/text/78/516/images/image170_5.gif" width="91" height="25 src="> (6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6..gif" width="17" height="25 src=">.gif" width="160" height="25 src="> и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image174_4.gif" width="289" height="48 src="> (6.4)

Произвольные постоянные http://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т. к..gif" width="133" height="47 src="> есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6..gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="160" height="25 src=">, мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при решении лнду.

Теорема 2. Если http://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src=">.gif" width="179" height="25 src=">.gif" width="179" height="25 src="> f1(x) + f2(x). (6.5)

Доказательство.

Подставив функцию http://pandia.ru/text/78/516/images/image180_5.gif" width="284" height="25 src="> f1 + f2. Это равенство является тождеством, т. к..gif" width="141" height="25 src="> f2. Теорема доказана.

§7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Пусть в уравнении (6.1) коэффициенты постоянны, т. е. уравнение имеет вид:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image184_5.gif" width="95" height="25 src=">.

Рассмотрим метод отыскания частного решения http://pandia.ru/text/78/516/images/image186_5.gif" width="109" height="25 src=">.gif" width="16" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src="> не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5..gif" width="131" height="25 src="> – неопределенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1. Найти общее решение уравнения http://pandia.ru/text/78/516/images/image194_5.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="48" height="25 src=">.gif" width="207" height="25 src=">..gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="30" height="25 src="> – неопределенные коэффициенты. Найдем производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:

http://pandia.ru/text/78/516/images/image204_5.gif" width="25" height="25 src="> и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства